정칙 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
참조

1. 개요

정칙 공간은 위상 공간의 일종으로, 닫힌 집합과 그 집합에 속하지 않는 점을 서로소인 열린 집합으로 분리할 수 있는 공간을 의미한다. T₃ 공간 또는 정칙 하우스도르프 공간은 정칙 공간이면서 하우스도르프 공간인 위상 공간을 지칭한다. 정칙 공간은 부분 공간, 곱공간, 상자곱 연산에 대해 닫혀 있으며, 정칙 하우스도르프 공간은 우리손 공간이고, 완비 정칙 공간은 정칙 공간이다.

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위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다.
위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.

정칙 공간
정의
정의	위상 공간의 한 종류
분류
분류	분리공리
콜모고로프 분류
T₀	콜모고로프 공간 (Kolmogorov)
T₁	T1 공간 (프레셰)
T₂	하우스도르프 공간 (하우스도르프)
T₂½	우리손 공간 (우리손)
완전 T₂	완비 하우스도르프 공간 (완전 하우스도르프)
T₃	정칙 하우스도르프 공간 (정칙 하우스도르프)
T₃½	티호노프 공간 (티호노프)
T₄	정규 하우스도르프 공간 (정규 하우스도르프)
T₅	완비 정규 하우스도르프 공간 (완전 정규 하우스도르프)
T₆	완전 정규 하우스도르프 공간 (완전 정규 하우스도르프)
역사
역사	분리 공리의 역사

2. 정의

위상 공간

X

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''정칙 공간'''이라고 한다.

(점과 닫힌집합의 분리) 임의의 닫힌집합 $F\subseteq X$ 와 점 $x\in X\setminus F$ 에 대하여, $x\in U\subseteq X\setminus V\subseteq X\setminus F$ 가 되게 하는 열린집합 $U,V\subseteq X$ 가 존재한다.^[3]
임의의 점 $x\in X$ 에 대하여, $x$ 를 포함하는 정칙 닫힌집합(즉, $x$ 의 열린 근방의 폐포)들은 $x$ 의 국소 기저를 이룬다.

위상 공간 ''X''가 임의의 닫힌 집합 ''F''와 ''F''에 속하지 않는 임의의 점 ''x''에 대해 ''x''의 근방 ''U''와 ''F''의 근방 ''V''가 존재하여 서로소이면 '''정칙 공간'''이라고 한다. 간단히 말해서, 서로소인 근방을 사용하여 ''x''와 ''F''를 분리할 수 있어야 한다.

'''T₃ 공간''' 또는 '''정칙 하우스도르프 공간'''은 정칙 공간이자 하우스도르프 공간인 위상 공간이다. (하우스도르프 공간 또는 T₂ 공간은 임의의 두 개의 서로 다른 점이 근방에 의해 분리되는 위상 공간이다.) 공간이 T₃인 것은 정칙이면서 T₀인 것과 필요충분 조건이다. (T₀ 또는 콜모고로프 공간은 임의의 두 개의 서로 다른 점이 위상적으로 구별 가능한, 즉, 서로 다른 점의 모든 쌍에 대해, 적어도 그들 중 하나가 다른 점을 포함하지 않는 열린 근방을 갖는 위상 공간이다.) 실제로, 공간이 하우스도르프이면 T₀이고, 각 T₀ 정칙 공간은 하우스도르프 공간이다. 서로 다른 두 점이 주어지면, 적어도 그 중 하나는 다른 점의 폐포를 포함하지 않으므로 (정칙성에 의해) 한 점을 (다른 점의 폐포로부터) 분리하는 서로소인 근방이 존재한다.

3. 성질

X*가 정칙 공간이면, 임의의 점 *x*와 그 근방 *G*가 주어졌을 때, *G*의 부분 집합인 *x*의 닫힌 근방 *E*가 존재한다.^[1]

즉, *x*의 닫힌 근방은 *x*에서 국소 기저를 형성한다.^[1]

이러한 닫힌 근방의 내부를 취하면, 정칙 열린집합은 정칙 공간 *X*의 열린 집합에 대한 기저를 형성한다.^[1]

정칙 열린 집합이 기저를 형성하는 위상 공간은 준정칙 공간이다.^[1]

3. 1. 다른 분리 공리와의 관계

정칙 하우스도르프 공간은 우리손 공간이다. 완비 정칙 공간은 정칙 공간이다.

정칙 하우스도르프 공간과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.

정칙 공간에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

콜모고로프 공간이다.
하우스도르프 공간이다.

정칙 하우스도르프 공간을 '''T₃ 공간'''(T₃ space^영어)이라고 부르기도 한다.

정칙 공간은 필연적으로 전정칙 공간, 즉 임의의 두 위상적으로 구별 가능한 점들을 이웃으로 분리할 수 있다.

하우스도르프 공간은 전정칙 T₀ 공간과 동일하므로, T₀인 정칙 공간은 하우스도르프 공간(따라서 T₃)이어야 한다.

사실, 정칙 하우스도르프 공간은 약간 더 강한 조건 T_2½를 만족한다.

(그러나, 그러한 공간이 완전 하우스도르프일 필요는 없다.)

따라서 T₃의 정의는 T₂(하우스도르프성) 대신 T₀, T₁, 또는 T_2½를 언급할 수 있으며, 정칙 공간의 맥락에서 모두 동등하다.

더 이론적으로 말하면, 정칙성과 T₃-성의 조건은 콜모고로프 몫에 의해 관련되어 있다.

공간이 정칙 공간일 필요충분조건은 해당 공간의 콜모고로프 몫이 T₃인 것이고, 언급했듯이 공간이 T₃일 필요충분조건은 정칙이면서 T₀인 것이다.

따라서 실제로 마주치는 정칙 공간은 대개 콜모고로프 몫으로 공간을 대체하여 T₃라고 가정할 수 있다.

정칙 공간과 하우스도르프 공간 모두에 대해 성립하는 위상 공간에 대한 많은 결과가 있다.

대부분의 경우, 이러한 결과는 모든 전정칙 공간에 적용된다. 전정칙 공간의 개념이 나중에 등장했기 때문에 정칙 공간과 하우스도르프 공간에 대해 별도로 나열되었다.

반면에, 정칙성에 관한 진정한 결과는 일반적으로 비정칙 하우스도르프 공간에는 적용되지 않는다.

정규성, 준정규성, 파라콤팩트성, 또는 국소 콤팩트성과 같은 위상 공간의 다른 조건은 전정칙성과 같은 더 약한 분리 공리가 충족될 경우 정칙성을 의미하는 경우가 많다.^[2]

이러한 조건은 종종 정칙 버전과 하우스도르프 버전의 두 가지 형태로 나타난다.

일반적으로 하우스도르프 공간은 정칙 공간이 아니지만, (예를 들어) 국소 콤팩트인 하우스도르프 공간은 정칙 공간이 된다. 왜냐하면 모든 하우스도르프 공간은 전정칙 공간이기 때문이다.

따라서 어떤 관점에서 보면 정칙성은 실제로 중요한 문제가 아니며, 동일한 결과를 얻기 위해 그 대신 더 약한 조건을 부과할 수 있다.

그러나 이러한 조건이 더 약한 조건보다 더 잘 알려져 있기 때문에 정의는 일반적으로 여전히 정칙성의 관점에서 표현된다.

수학적 해석학에서 연구되는 대부분의 위상 공간은 정칙 공간이다. 사실, 그들은 대개 더 강한 조건인 완전 정칙 공간이다.

정칙 공간은 또한 정규 공간과 대조되어야 한다.

3. 2. 연산에 대한 닫힘

정칙 공간의 부분 집합은 항상 정칙 공간이다. (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 곱공간은 정칙 공간이다. 또한, (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 상자곱은 정칙 공간이다.

3. 3. 크기

정칙 하우스도르프 공간은 비가산 집합이거나 아니면 완전 분리 공간이다.^[1]

'''증명''':

X

가 가산 정칙 공간이라고 하자. 가산 위상 공간은 (자명하게) 린델뢰프 공간이며, 정칙 린델뢰프 공간은 정규 공간이므로,

X

는 정규 공간이며, 특히 완비 하우스도르프 공간이다.^[1]

공집합은 정의에 따라 연결 공간이 아니다. 만약

X

의 크기가 2 이상이라면 서로 다른 두 점

x,y\in X

를 고를 수 있으며, 완비 하우스도르프 공간의 조건에 의하여

f(x)=0

,

f(y)=1

인 연속 함수

f\colon X\to[0,1]

을 찾을 수 있다.

X

가 가산 집합이므로

r\in[0,1]\setminus f(X)

를 고를 수 있다. 그렇다면

X=f^{-1}([0,r))\cup f^{-1}((r,1])

이므로,

X

는 두 서로소 열린집합으로 분해되며, 따라서 연결 공간이 아니다.^[1]

보다 일반적으로,

X

의 모든 부분 공간은 가산 정칙 공간이며, 따라서 한원소 집합이 아니라면 연결 공간이 될 수 없다. 따라서

X

의 연결 성분들은 모두 한원소 집합이며,

X

는 완전 분리 공간이다.^[1]

3. 4. 정칙 열린집합

정칙 공간의 정칙 열린집합들의 족은 기저를 이룬다. 그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다 (즉, 정칙 열린집합들이 기저를 이루지만 정칙 공간이 아닌 위상 공간이 존재한다).^[1]

''X''가 정칙 공간이라고 가정하면, 임의의 점 ''x''와 ''x''의 근방 ''G''가 주어지면, ''G''의 부분 집합인 ''x''의 닫힌 근방 ''E''가 존재한다.^[1]

''x''의 닫힌 근방은 ''x''에서 국소 기저를 형성한다.^[1]

위상 공간의 각 점의 닫힌 근방이 해당 점에서 국소 기저를 형성하면, 그 공간은 정칙 공간이어야 한다.^[1]

이러한 닫힌 근방의 내부를 취하면, 정칙 열린 집합은 정칙 공간 ''X''의 열린 집합에 대한 기저를 형성하는 것을 알 수 있다.^[1]

정칙 열린 집합이 기저를 형성하는 위상 공간은 준정칙이다.^[1]

4. 예시

실수의 집합 $\mathbb{R}$ 에, 다음과 같은 집합들을 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다.

: $\{U\setminus C\colon|C|<\aleph_0,U\in\mathcal T(\mathbb R)\}$

여기서 $\mathcal T(\mathbb R)$ 는 실수의 표준적인 위상에서의 열린 집합들의 모임이다. 그렇다면, 이 비표준 위상을 준 실수 집합은 하우스도르프 공간이지만 정칙 공간이 아니다.^[1]

소유 차원에 관해 영차원 공간은 폐포 집합으로 구성된 기저를 갖는다. 그러한 모든 공간은 정칙 공간이다.^[2]

완전 정칙 공간은 정칙 공간이지만, 하우스도르프가 아닌 T₀ 공간은 정칙 공간일 수 없다. 완전 정칙 공간이 아닌 정칙 공간의 예는 티호노프 코르크스크류이다.^[3]

정칙 공간이 아닌 하우스도르프 공간의 예로는 실수 집합 $\mathbb{R}$ 에 대한 K-위상이 있다. 일반적인 위상에서 열린 집합 $U$ 와 모든 집합 $U\setminus C$ 의 모임을 기저로 하여 $\mathbb{R}$ 에 더 미세한 위상을 구성할 수 있는데, 이 위상은 하우스도르프이지만 정칙 공간은 아니다.

참조

_[1] 서적 Topology Prentice Hall
_[2] 웹사이트 general topology - Preregular and locally compact implies regular https://math.stackex[...]
_[3] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall

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